三角函数的极限
三角函数极限有两种情况，大数和小数。
一、小数情况（参数趋向0）
特征：当 时，，，。
例1：直接趋向0
- 分析：当 ，参数 ，属于小数情况。
- 解法：等价无穷小替换 ，
得：
例2：复合趋向0
- 分析：当 ，参数 ，属于小数情况。
- 解法：等价无穷小替换 ，
得：
二、大数情况（参数趋向±∞）
特征：当 时，和 振荡且无极限，需利用有界性（如 ）。
例3：直接趋向无穷
- 分析：当，参数，属于大数情况。
- 解法：夹逼定理。因 ，故： 当 ，两边极限为0，故原式极限为0。
例4：复合趋向无穷
- 分析：当 ，参数，属于大数情况。
- 解法：在 时振荡于，无极限。
三、混合情况（参数与x趋向相反）
例5：x→0但参数→∞
- 分析：当，参数 ，属于大数情况。
- 解法：，但分母 ，导致整体趋向 （极限不存在）。
例6：x→∞但参数→0
- 分析：当 ，参数 ，属于小数情况。
- 解法：令 ，则 ，原式变为：
四、非典型情况（参数既不趋向0也不趋向∞）
例7：参数趋向非零常数
- 分析：当 ，参数 ，属于小数情况。
- 解法：等价无穷小替换 ，
得：
第一项趋向 ，第二项趋向0，故极限不存在。
五、常见错误示例
错误1：误用等价无穷小到大数情况
（误）直接替换为
- 错误原因：当 ， 不趋向0，不能用等价无穷小。
错误2：忽略参数实际趋向
（误）认为 而直接得0
- 错误原因： 时 ，属于大数情况，需分析振荡性。
总结：解题流程图
1. 确定参数趋向：分析 当 时的趋向（0、±∞或其他）。
2. 分类处理： - 小数情况：等价无穷小替换或泰勒展开。
- 大数情况（）：利用有界性结合夹逼定理。
- 其他情况：单独分析（如洛必达法则、变量替换）。
通过这些例子，可以清晰区分三角函数极限的不同场景及解题策略。
等价无穷小的替换规则也很重要。通常在乘积或商的情况下，可以直接替换，但在加减的情况下需要谨慎，可能会导致错误。例如，当计算 lim (x→0) (sinx - tanx)/x³ 时，不能直接将 sinx 和 tanx 都替换为 x，否则会得到 0，但实际上需要用泰勒展开或其他方法处理。
三、其他情况（比如三角函数）
计算极限
分步解析
1. 问题识别
- 直接代入 ： （不定式 ）
2. 变量替换
- 设 ，则当 时，。
- 代入后，，原式变为：
3. 三角恒等式化简
- 利用 ：
4. 应用已知极限
- 已知（可通过泰勒展开或几何意义验证）。
5. 最终结果
核心思想总结
1. 变量替换平移：通过 将非零点极限转化为 。
2. 三角恒等式：利用角度和差公式简化表达式（如）。
3. 已知极限：结合基本极限结论（如 ）。
应用场景：适用于所有涉及三角函数在非零点的不定式极限问题
（如 、）。
四、一个非常重要的公式推导
笔者注：数学上的的构建技巧，找出元图形，分别找出比原图形大和比原图形小的两个辅助图形，然后构建函数，找出三个函数之间关系。
通过几何方法和三明治定理证明当 时，。
1. 几何构造与面积比较
（1）扇形面积分析
- 扇形 OAB：半径为 1，圆心角为 弧度。
- 面积公式：扇形面积 = 。
（2）三角形面积分析
- 三角形 ΔOAB： - 底为 OB（长度 1），高为 AC（\( |AC| = \sin x \)）。
- 面积 = 。
- 三角形 ΔOBD： - 底为 OB（长度 1），高为 DB（\( |DB| = \tan x \)）。
- 面积 = 。
（3）面积不等式
- 几何关系：ΔOAB ⊂ 扇形 OAB ⊂ ΔOBD。
- 面积比较： ΔOAB 面积 < 扇形 OAB 面积 < ΔOBD 面积
代入公式得：
两边乘 2 得：
2. 不等式变形与极限推导
（1）取倒数并化简
- 原不等式：。
- 取倒数（注意方向改变）：
- 代入 ：
- 两边乘 当 ） ：
即：
2）应用三明治定理
- 左极限：当 ，。
- 右极限：当 ，右侧为 1。
- 三明治定理：若 ，
且 ，
则：
3. 左极限与双侧极限
（1）变量替换法
- 左极限：
令 ，则 时，。
- 表达式转换：
（2）双侧极限
- 右极限和左极限均为 1，故：
4. 函数图像与连续性
（1）偶函数性质
- 偶函数定义：。
- 验证：
因此，是偶函数，图像关于 y 轴对称。
（2）补充连续性
- 原函数： 在 处无定义。
- 扩展定义：定义 ，
则 在 处连续。
5. 图像特征
- 截距：
所有非零整数倍的 π（如 ）。
- 包络线：
被 和 限制，振幅随 衰减。
- 对称性：关于 y 轴对称，在 处补充点 (0, 1)。
总结
通过几何构造和三明治定理，我们严格证明了。
这一结果是微积分中处理三角函数极限的基础，同时也揭示了正弦函数在原点附近的线性近似特性。
三角函数的导数
三角函数导数推导
1. 基本三角函数导数
- 正弦函数：
导数：
推导过程： 利用极限定义，
结合和角公式 ，分离含 的项并应用已知极限 和 。
- 余弦函数：
导数：
推导提示： 类似正弦函数，使用和角公式 ，并应用相同极限。
2. 其他三角函数导数（商法则与链式法则
- 正切函数：
导数：
推导： 设, ，
应用商法则：
- 正割函数：
导数：
推导： 使用链式法则，设 ，则 ，
求导得：
- 余割函数：
导数：
推导： 类似正割函数，设 ，
应用链式法则：
- 余切函数：
导数：
推导： 应用商法则或链式法则（如设 ），
结果为：
3. 二阶导数性质
-正弦函数：（二阶导为负的原函数）
- 余弦函数：（同理
4. 记忆技巧
- 余函数导数规律： 余弦、余割、余切的导数均带负号，且导数形式为对应正函数导数的“余形式”。
例如： - → 。
- → 。
最终公式表
函数导数
关键方法：利用极限定义推导基本导数，通过商法则和链式法则扩展至其他函数，注意余函数导数的负号规律。
三角函数导数解释荡秋千
荡秋千基本上算是一种简谐运动，用这个例子比较容易理解。
荡秋千的简谐运动分析
0. 物理场景
小明荡秋千时，从最高点（位移最大处）释放，开始周期性摆动。我们将最低点设为位移零点（）。
1. 位移公式
假设位移随时间变化为：
- ：振幅（最大位移，如米）
- ：角频率（决定摆动快慢）
2. 一阶导数（速度）
速度是位移的一阶导数：
- 最高点（）：（此时速度为零，即将反向运动）
- 最低点（）：（此时速度最大，方向取决于摆动方向）
3. 二阶导数（加速度）
加速度是速度的一阶导数（位移的二阶导数）：
- 最高点（）：
（加速度最大，方向指向最低点）
- 最低点（）： （加速度为零，此时合力为零）
4. 物理对应关系
位置位移x速度v加速度a物理意义最高点A0速度为零，开始加速回落向下摆动中减小增大（负）减小（负）速度方向向下，加速度减小最低点0−Aω0速度最大，无加速度向上摆动中增大（负）减小（负）增大（正）速度方向向上，加速度增大
5. 公式验证
- 角频率计算：
对于单摆，角频率为 （为摆长，为重力加速度）。
- 周期： 摆动周期 。
总结
通过求导操作，我们将位移函数与速度、加速度直接关联：
1. 速度：位移的斜率，表示摆动快慢。
2. 加速度：位移的曲率，表示回复力大小。
3. 核心关系：，体现简谐运动的本质特征。
物理是数学在现实中的体现，三角函数导数这种数学关系在荡秋千、钟摆等场景中直观可见，连带记忆也有助于理解函数本质。